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自Argand,J.R(1768~1822)與Gauss,C.F(1777~1855)將漂渺虛無的複數具體化、幾何化為Euclid平面上的點之後,歷經Cauchy,A.L(1789~1857);Riemann,G.F.B(1826~1866);Weierstrass,K.T.W.(1815~1897)等人奠基性的工作,複變函數論迄今已有二百多年的歷史,是一門古老的、理論架構完整的且有廣泛應用的學科。
本書定名為「初等複變分析導論(一)」,是計劃編寫五冊套書的第一冊,重點在於「複變微分」:介紹複數基礎的代數運算、幾何刻劃性質與點集結構之後,介紹按「複變」的微分方法,跟「實變」微分方法作根本上的比較,探討這二種數學理論差異的根源;並從代數、分析、幾何與物理的觀點來看Cauchy-Riemann方程式的來源。而且介紹Weierstrass理論,從冪級數出發,經由解析延拓的方法,以建造完全解析函數。
本書讀者需具備微積分知識(包括線性代數及一些高等微積分題材),而數學成熟度尤為重要。本書具有的特點包括:第一:注重觀念的幾何背景與意義。第二:足夠多的例題與習題。第三:儘早儘多地說清楚講明白多值函數的相關問題。第四:在理論建立過程中,強調並指出與「實變」分析的異同之處。第五:用不同的觀點或証法來建立同一個理論事實。

  • 前言(第前言1頁)
  • 第一章 複數(第1頁)
    • §1 複數系(體)(第2頁)
    • §2 複數的幾何表示(第12頁)
    • §3 複數的代數運算性質暨對應的幾何意義、應用(第25頁)
    • §4 複數的球面表示與擴張複平面C*(或Riemann球面)(第77頁)
    • §5 複平面C的基本點集結構(第94頁)
  • 第二章 單複變數的複值函數(第133頁)
    • §1 單複變數複值函數(第134頁)
    • §2 函數的極限值(第136頁)
    • §3 連續函數(第140頁)
    • §4 曲線(第160頁)
    • §5 初等超越函數(第180頁)
    • §6 多值函數(第201頁)
  • 第三章 解析函數的基礎理論:微分(第337頁)
    • §1 微分(第342頁)
    • §2 Cauchy-Riemann方程式的代數、分析、幾何與物理意義(第371頁)
    • §3 解析函數(第393頁)
    • §4 初等的解析函數及它們的反函數:幾何變換性質與Riemann面(第540頁)
    • §5 冪級數所定義的解析函數(第731頁)
    • *§6 問題與研究(第936頁)
  • 參考資料(第1043頁)
  • 索引一:數學符號(第1046頁)
  • 索引二:數學名詞(第1054頁)
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